資産運用に役立つ計算をしよう(2)　~いくら受取れる?~

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前回に続き、資産運用に必要な計算の方法をご紹介します。

今回は、一生懸命貯めた老後資金を取り崩していく場合の計算です。

貯めた資産、これから毎年いくらずつ受け取れる？

例えば老後資金として1000万円貯めました。これからも年利2.0%(1年複利)で運用しながら取り崩す(おろしていく)場合、毎年、いくらもらえる？　年金みたいなものですね。

現時点での資産額P円、年利をr%、これからn年かけて取り崩すとすれば、毎年受け取れる金額Wは

W = P x r x (1+r)ⁿ / {(1+r)ⁿ -1}      (式15)　　*詳しくは本記事最後の備考欄参照

下線部の係数を資本回収係数と言います。

またはEXCELのPMT関数を使うと、

W = PMT(r, n, -P, 0)       (式16)

Pの前にはマイナスをつけます。

この計算、実は

Pが借入額、rがローン金利、nは返済年、Wが毎年の返済額と考えると、

ローンの返済額の計算にもなります。

尚、上記計算 式15,16は、毎年期末におろしていった(年金を受取った)場合です。

期首におろす(受取る)場合は、

W = P x r x (1+r)ⁿ / [(1+r) x {(1+r)ⁿ -1}]      (式17)

または、

W = PMT(r, n, -P, 0, 1)       (式18)

となります。

ある年金額をもらうためには、いくら貯める必要があるの？

例えば毎年100万円、10年間の私的年金が欲しい、その為には、いくら貯めておく必要があるの？　老後の資金計画に必要な計算ですね。

毎年受取る年金をW, 年利をr%、これからn年かけて取り崩すとすれば、現時点で必要な元本Pは、

P = W x {(1+r)ⁿ -1} / {r x (1+r)ⁿ }       (式19)　

下線部の係数を年金現価係数と言います。資本回収係数(式15)の逆数ですね。

あるいは、EXCEL PV関数を使い、

P = PV(r, n, -W)           (式20)

となります。

この計算もローンの場合にも使え、毎年の返済額をW円とした場合の借入可能総額となります。

尚、式19,20とも、期末に年金を受け取る時の計算です。

期首に受取る場合には、

P = W x (1+r) x {(1+r)ⁿ -1} / {r x (1+r)ⁿ }       (式21)

P = PV(r, n, -W, 0, 1)           (式22)　

となります。 

将来貯めたい金額、決まった元本(積立額)、年利いくらで運用すれば良いの？

あるいは、元本、積立額、将来の受取額がわかっている金融商品、この商品の利率っていくら？ って場合も同じです。

ここでは、すべてEXCELのRATE関数を使います。

EXCELのヘルプによると
RATE(期間, 定期支払額, 現在価値, [将来価値], [支払期日], [推定値])
　　[]は省略可能

元本P、n年後の受取額F、利率はいくら？

　年利r = RATE(n, 0, -P, F)　　　(式23)　

毎年の積立額T、n年後の受取額F、利率はいくら？

　年利r = RATE(n, -T, 0, F)　　　(式24)　

　毎月の積立の場合、*Tは年間の積立額です。

　月利 = RATE(n x 12, -T/12, 0, F)　　　(式25)　

　年利になおすには、
　　　　(1) 月利 x 12　　: 単利
            (2) (1+月利)¹² -1　　: 複利
　のどちらかで計算してください。

元本P、n年間受け取れる年金W、利率はいくら？

年利r = RATE(n, -W, P)　　　(式26)　

最後に

2回にわたって説明しました各種計算方法、いかがでしたか？ 普段、EXCELを使いこなしている方には簡単だと思います。そうでなない方も、是非、ご自分で実際に使って計算してみてください。資産運用のお役に立てるかと思います。

*2016.7.22 第3回としてIRR関数、XIRR関数の記事を追加しました。

本シリーズは3回に分けて記事にしてあります。

第1回資産運用に役立つ計算をしよう(1)　~いくら積立てたら良いの?~

第2回(本記事)資産運用に役立つ計算をしよう(2)　~いくら受取れる?~

第3回資産運用に役立つ計算をしよう(3)　~毎月、異なる金額の投資を行った場合の利率~

備考　　(式15の説明)　

現時点での資産額P円、年利をr%、これからn年かけて取り崩すとすれば、毎年受け取れる金額Wは

1年目の残金　P x (1+r) - W

2年目の残金　{P x (1+r) - W)} x (1+r) - W　= P x (1+r)² - W x (1+r) -W

3年目の残金　P x (1+r)³ - W x (1+r)² - W x (1+r) - W

n年目の残金　P x (1+r)ⁿ - W x (1+r)^n-1 - W x (1+r)^n-2 - W x (1+r)⁰
                                               _n
                 = P x (1+r)ⁿ -Σ W(1+r)^{k-1
                                     K=1}
                          前回の記事の備考で示した等比級数の公式を使って
　　　　　  = P x (1+r)ⁿ + Ｗ x {1-(1+r)ⁿ)} / r
 n年目の残金が0なので、　W = P x r x (1+r)ⁿ / {(1+r)ⁿ -1}     

 式15になります。